Formação de professores - 2022/2023

Pediram à Rita para desenhar um projeto de uma bandeira, com a forma de um paralelogramo. Esse paralelogramo está dividido em quatro triângulos pintados de duas cores: uma cor representa os alunos do Secundário e outra os alunos do 3.º ciclo.
Nessa escola, existem mais alunos do secundário do que do 3.º ciclo, no Desporto Escolar. Assim, é necessário que "a área dos dois triângulos que representa os alunos do secundário seja maior".

Questão - Onde terá de colocar a Rita o vértice comum dos quatro triângulos, de forma a obedecer a esta condição?

R: $A_{\left[ABDC\right]}=Soma das áreas azuis + soma das áreas laranja$

$A_{\left[ABDC\right]}=A_{\left[ABP\right]}+A_{\left[CPD\right]}+A_{\left[APC\right]}+A_{\left[BDP\right]}$ $=\frac{\overline{AB }\times \overline{IP}}{2}+\frac{\overline{CD }\times \overline{PG}}{2}+A_{\left[APC\right]}+A_{\left[BDP\right]}$

$\mathrm{ou}{A}_{\left[ABDC\right]}=\frac{10 \times 2}{2}+\frac{10 \times 4}{2}+A_{\left[APC\right]}+A_{\left[BDP\right]}$

$\mathrm{ou}{A}_{\left[ABDC\right]}=30 + A_{\left[APC\right]}+A_{\left[BDP\right]}\left(1\right)$

$Como A_{\left[ABDC\right]}=\overline{AB}\times \overline{IG} = 10 \times 6 = 60$

$substituindo em \left(1\right)60=30 + A_{\left[APC\right]}+A_{\left[BDP\right]}$

$\mathrm{logo} A_{\left[APC\right]}+A_{\left[BDP\right]}=30$

Conclui-se que a soma das áreas azuis é IGUAL à soma das áreas laranja.

3. - A Rita também fez vários desenhos e não percebeu o que estava a acontecer com as áreas dos triângulos.

Então, pediu à Mariana, que gosta muito de matemática, para a ajudar a encontrar uma solução para a localização de um ponto P no interior do paralelogramo, de modo a respeitar a condição pedida. A Mariana escreveu uma justificação no seu caderno e enviou-lhe a seguinte fotografia:

Escreve uma explicação que traduza em linguagem corrente a justificação que a Mariana enviou à Rita.
A Mariana encontrou a solução para o problema da Rita? Justifica a tua.

R: Sim. A Mariana encontrou a solução para o problema porque demonstrou que metade da área do paralelogramo é igual a soma das áreas dos triângulos azuis, independentemente do local onde se encontre o ponto P. Como a soma das áreas dos dois triângulos azuis só depende das duas alturas, uma vez que a base é sempre a mesma, e a soma dessas duas alturas é sempre a mesma, isso quer dizer que a soma das áreas dos triângulos azuis é sempre igual e é metade da área do paralelogramo.